Soit un espace vectoriel normé et F un
sous-espace vectoriel de E. Montrer que l’adhérence de F,
,
est également un sous-espace vectoriel de E.
Analyse
La caractérisation séquentielle de l’adhérence permet de répondre rapidement …
Résolution
Comme ,
est bien sûr non vide.
Soit alors et
deux éléments de
et α et β deux scalaires. La combinaison linéaire
appartient-elle à
?
En tant qu’élément de ,
le vecteur
est limite d’une suite d’éléments de F :
.
De la même façon :
.
Considérons alors la suite : .
F étant un sous-espace vectoriel de E, on a : .
De surcroît, les suites
et
étant convergentes, il en va de même pour la
suite
.
En d’autres termes, la suite est une suite convergente d’éléments de F,
elle converge donc dans
.
Or :
.
On en déduit finalement que le vecteur
appartient à
.
est bien un sous-espace vectoriel de E.