Soit un espace vectoriel normé de dimension finie
et f un endomorphisme de E.
Soit un vecteur de E. On définit la suite
par :
On suppose que converge vers
.
Montrer que est un vecteur propre de f.
Analyse
La continuité de f joue un rôle déterminant ici. Dans
un premier temps, on peut remarquer que le vecteur ne peut être le vecteur nul …
Résolution
On note que l’on a : .
La suite convergeant vers
et la norme
étant continue, on en déduit que la suite
convergera vers
.
Or, on vient de montrer que la suite
était constante (à partir du rang 1 au moins).
On en déduit :
.
Le vecteur est donc non nul et, plus précisément, unitaire.
L’endomorphisme f est continu en tant qu’application linéaire définie sur un espace vectoriel de dimension finie.
De on tire alors :
.
Mais : (E)
On vient de voir que la suite convergeait vers
.
La norme
étant elle-même continue, on en déduit que la
suite
converge vers
.
Par ailleurs, la suite
converge également vers
.
L’égalité (E) nous donne alors : .
Soit : .
Le vecteur est bien un vecteur propre de f.