On peut établir le résultat de diverses façons. Nous en proposons deux.

Dans la première nous raisonnons par l’absurde en supposant que l’intérieur de la frontière est non vide et en utilisant la définition d’un ouvert. On aboutit alors à une contradiction.

Dans la seconde, nous travaillons avec la frontière de U en tant qu’intersection de deux ensembles. On doit alors considérer l’intérieur de cette intersection.

 

 

 

Dans un premier temps, rappelons que pour toute partie A de E on a : .

Puisque l’on considère ici une partie U ouverte, il vient : .

 

 

1^ère approche

 

Supposons que l’on ait .

Soit alors x dans . Par définition de l’intérieur d’une partie, il existe une boule ouverte  de centre x incluse dans . On a alors :  et on en déduit que x n’appartient pas à l’adhérence de U. Ce qui contredit : .

 

 

2^ème approche

 

On peut écrire :  où  désigne le complémentaire de U dans E.

 

Pour toutes parties A et B de E on a :  et .

On a alors : .

Comme , on a : . Soit : .

Finalement : . Soit : .