Un exercice classique autour du thème de la frontière. La plupart des résultats font appels aux propriétés fondamentales de l’intérieur et de l’adhérence. La troisième question est un peu plus délicate que les deux autres.

 

 

 

 

Question 1.

 

Dans un premier temps, rappelons que pour toute partie A de E on a :

.

 

Il vient alors immédiatement :

 

 

Et :

 

 

Comme , on a :  et, de fait : . C'est-à-dire :

 

 

 

De façon analogue, comme , il vient :  et, de fait : .

D’où : . C'est-à-dire :

 

 

 

 

Soit .

On a : .

Par ailleurs, en tout point x de  et pour tout réel , l’ intervalle ouvert  rencontre A. On en déduit : .

 

De ce qui précède, on tire immédiatement : .

 

Il vient ensuite :  et .

On constate ainsi que dans cette exemple les inclusions sont strictes.

 

 

Question 2.

 

On utilise ici les propriétés fondamentales de l’adhérence et de l’intérieur :

 

 

Or, on a :

 

 

On a donc :

 

 

On a bien :

 

 

Question 3.

 

D’après la question précédente, on a déjà : .

 

Nous allons établir l’inclusion inverse : .

 

Considérons, par exemple, un élément x de .

 

Par définition de la frontière, cet élément appartient à .

Comme , on a :  et donc : .

 

Par ailleurs, comme on a ici , il vient : .

Mais on a : .

On en déduit donc qu’il existe une boule  incluse dans  : .

 

Comme x est un élément de la frontière de A, on a aussi : .

Mais on a : .

Alors la boule  rencontre  : .

 

On a les deux résultats :  et .

On a donc : .

Comme : , il vient : , c'est-à-dire : .

Finalement : .

 

On a établi :  et , soit : .

Ainsi, on a : .

On monterait de façon similaire : .

Il en découle finalement : .

Le résultat est ainsi établi.