Un résultat assez intuitif et bien pratique dans certaines démonstrations.

On l’établit en démontrant les deux implications (l’implication directe est rendue plus lisible par un petit dessin …).

 

 

 

 

 

On suppose que l’on a : .

Soit alors  dans . On a donc : .

Il vient alors : , soit : .

Le vecteur  appartient donc à la boule .

 

On a ainsi établi :  

 

 

 

On suppose maintenant que l’on a :  avec .

 

Si , on a immédiatement : .

On suppose désormais .

 

On veut montrer que l’on a : , c'est-à-dire : .

Soit : .

Considérons alors le vecteur .

Ce vecteur appartient à  (on a : . Ce vecteur appartient donc, plus précisément, à la sphère de centre  et de rayon  ).

Par ailleurs : .

D’où : .

Mais , donc  appartient à . D’où : , c'est-à-dire, d’après l’égalité que nous venons d’obtenir : , inégalité qui équivaut, comme on l’a montré à : .