Dans ce grand classique, l’énoncé porte en soi une indication : la somme  « suggère » d’utiliser l’inégalité triangulaire. Par ailleurs, les notions de diamètre d’une partie et de distance entre deux parties font appel aux notions de borne supérieure et borne inférieure. Il convient donc d’obtenir des inégalités très générales …

 

 

 

 

Dans un premier temps, rappelons que l’on a, pour toute partie X non vide d’un espace métrique : .

 

L’idée est alors la suivante : nous allons considérer un couple quelconque de points de  et nous intéresser à la distance  entre ces points.

 

On est naturellement amené à distinguer diverses situations :

 

Si x et y sont deux éléments de A.

 

On a par définition de  :  et donc :

 

 

Si x et y sont deux éléments de B.

 

On procède comme dans le cas précédent et on obtient cette fois :

 

 

Si x est un élément de A et y un élément de B.

 

Les points x et y sont fixés. Soit alors a quelconque dans A et b quelconque dans B.

On a :

 

 

Mais par définition du diamètre, on a immédiatement :  et .

D’où :

 

 

Puisque cette inégalité est valable pour tout couple  de , on obtient :

 

 

On a donc encore :

 

 

Si x est un élément de B et y un élément de A.

 

Cette situation, symétrique de la précédente, se traite de façon analogue et on obtient encore :

 

 

En définitive :

 

 

On en tire alors :

 

 

C'est-à-dire :

 

 

Le résultat est ainsi établi.