Deux résultats généraux que l’on pourrait presque qualifier … d’« intuitifs ». Les deux solutions proposées consistent en deux raisonnements par l’absurde.

 

 

 

 

Question 1.

 

Raisonnons par l’absurde en supposant que l’intersection  est non vide.

Soit donc x un élément de cette intersection.

 

Comme A est une partie ouverte de E, il existe une boule ouverte, , centrée en x et contenue dans A : .

 

Mais comme x appartient à l’adhérence de B, la boule  rencontre B : . Soit, par exemple : .

 

On a ainsi mis en évidence l’existence d’un élément y de E qui appartient à A (comme élément d’une boule incluse dans A) et à B. Ceci est absurde puisque, par hypothèse, les parties A et B sont disjointes.

 

En définitive, les parties A et  sont disjointes.

 

 

 

Question 2.

 

Notons, dans un premier temps, que l’on a, en utilisant une propriété de l’intérieur :

 

 

Raisonnons une fois encore par l’absurde en supposant l’intersection ci-dessus non vide.

Soit donc x dans .

Puisqu’il s’agit d’un ouvert, il existe une boule  incluse dans .

Par définition de l’adhérence, cette boule rencontre A, par exemple en y.

Mais en tant qu’élément de , y appartient aussi à .

On déduit de ce qui précède que y appartient à .

 

Mais d’après la question précédente, A étant une partie ouverte de E et A et B étant disjointes, l’intersection  est vide. On aboutit à une contradiction.