Des résultats topologiques généraux autour des notions de graphe et de continuité d’une application réelle de la variable réelle. On répondra à la dernière question par la négative en exhibant un contre-exemple. Prenez le temps d’en chercher un par vous-même !

 

 

 

 

Question 1.

 

Considérons l’application  définie comme suit :

 

 

Il s’agit de la composée des deux applications :

·         qui est continue de  dans  car chacune des applications composantes (f et l’identité) l’est ;

·         qui est continue (application différentiable).

 

L’application  est ainsi continue sur .

 

Or, on a facilement :

,  et  

 

Comme  et  sont des ouverts de  et comme  est continue, on en déduit que les images réciproques de ces deux ouverts,  et , sont deux ouverts de .

 

Par ailleurs, . Comme  et  sont des ouverts de , leurs complémentaires sont des fermés et en tant qu’intersection de deux fermés,  est un fermé de . On pouvait également rappeler que tout singleton d’un espace métrique (qui est toujours séparé) est un fermé.

 

La continuité de  nous permet alors de conclure que  est un fermé de .

 

 

 

Question 2.

 

Un petit dessin permet probablement de conjecturer un résultat assez intuitif : toute boule ouverte centrée en un point de G rencontre . Ce n’est bien sûr plus vrai dès que le point considéré est dans  puisque cet ensemble est un ouvert …

On peut conjecturer : .

 

 

Le complémentaire de , , étant un ouvert, cette union est un fermé de . Comme elle contient , on a immédiatement : .

 

Soit alors  un élément de G.

Considérons la suite  de  définie par :

 

On a donc :  et, de fait : .

On a : .

Comme f est continue en a, il vient : .

D’où : .

Finalement : .

On a ainsi montré que tout élément de G était limite d’une suite d’éléments de .

On en déduit : .

 

La double inclusion nous permet de conclure : .

 

En raisonnant de façon similaire, on obtient : .

 

 

 

En tenant compte du fait que  est un ouvert de  et en utilisant , il vient :

 

 

Remarque : la dernière égalité résulte de .

 

De façon analogue :

 

 

 

 

Question 3.

 

Pas nécessairement !

 

Considérons par exemple l’application f définie par :

 

 

Cette application n’est pas continue à l’origine.

 

Par ailleurs, on a : .

 

 est un fermé de  (comme tout singleton d’un espace métrique).

 

Soit alors  l’application définie comme suit :

 

 

Elle est continue (car différentiable) et on a : .

Comme  est un fermé de  et comme  est continue, alors  est une partie fermée de .

 

Finalement,  est une partie fermée de  comme union de deux parties fermées.

 

Ainsi, l’application « G fermé  f continue » n’est pas vraie.