Soit la fonction f définie par :
a. Déterminer
l’ensemble de définition de f ;
b. Déterminer les
limites de la fonction f aux bornes de .
Analyse
La première question ne pose pas de difficulté particulière.
Pour ce qui est de la seconde, il convient de connaître précisément les résultats du cours sur la croissance comparée des fonctions exponentielles et puissances.
Résolution
Question a.
La fonction f est le produit d’une fonction polynôme
( ), définie sur
,
et de la fonction exponentielle, également définie sur
.
On en déduit que la fonction f est définie sur .
Question b.
Déterminons .
On a : et
.
On en déduit immédiatement :
Déterminons .
On a encore : .
Mais, cette fois :
Nous avons donc affaire à une forme indéterminée du type
« ».
Pour tout entier n, on a (voir cours) : .
On en déduit : et
.
Finalement : .
Résultat final
a.
L’ensemble de définition de la fonction f
définie par : est :
;
b. Les limites de la fonction f aux bornes de son ensemble de définition sont :
et