Soit la fonction f définie par :
a. Dresser le tableau de variation f ;
b. Donner la représentation graphique de f dans un repère orthogonal.
La fonction proposée est le produit d’un polynôme et d’une exponentielle. On doit donc être précis au niveau de l’étude des limites aux bornes de l’ensemble de définition et au niveau du calcul de la dérivée (l’étude de son signe est simple).
à Ensemble de définition
La fonction f est le produit d’un polynôme, défini sur , et d’une exponentielle également définie sur puisque la fonction est définie sur .
On en déduit que la fonction f est définie sur .
à Limites aux bornes de l’ensemble de définition
On a : et .
On en déduit :
On a encore : .
Mais, cette fois :
Nous avons donc affaire à une forme indéterminée du type « ».
Pour tout entier n, on a (voir cours) : .
On en déduit :
Finalement :
à Sens de variation
La fonction f est le produit de deux fonctions dérivables et on a :
Pour tout x réel, on a : et .
On en déduit que la dérivée de la fonction f est négative sur .
Par ailleurs, on a : équivaut à : , soit : .
La dérivée s’annule pour .
La fonction f est donc décroissante sur .
Les éléments précédents nous permettent de donner le tableau de variation de la fonction f :
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x |
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1 |
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||
|
|
- |
0 |
- |
|
|
|
|
|
|
0 |
équivaut à : , soit : .
La dérivée s’annule pour .
Au point la courbe représentative de la fonction f admet donc une tangente horizontale.
Pour tracer la fonction f, on peut la tabuler en adaptant le pas selon que l’on se situe à gauche ou à droite de 1 : les variation de f sont en effet rapides à gauche de 1 mais beaucoup moins à droite.
Courbe représentative de la fonction pour