Un exercice classique qui requiert de connaître la propriété fondamentale du logarithme népérien et les notions de moyennes géométriques et arithmétique.

 

 

 

Soit  n nombres strictement positifs.

Notons  la moyenne arithmétique de leurs logarithmes népériens.

On a donc, par définition :

 

 

D’après la propriété fondamentale du logarithme népérien, le numérateur est égal au logarithme népérien du produit  et on a :

 

 

Soit :

 

 

Par définition,  est la moyenne géométrique des nombres .

Le résultat est ainsi démontré.