On place un capital donné K pendant un an au taux de 9%.

On obtient un nouveau capital .

A quel taux trimestriel faudrait-il placer K, les intérêts étant composés chaque trimestre, pour obtenir le même capital au bout d’un an ?

Analyse

Les compositions trimestrielles successives s’expriment mathématiquement sous forme d’une puissance. L’égalité des capitaux obtenus dans les deux situations permet d’obtenir le taux.

Résolution

Notons t le taux (sous la forme d’un pourcentage) cherché.

Dans la première situation, on a la relation simple :

Dans la seconde situation, le capital s’accroît trimestre après trimestre :

A la fin du premier trimestre, K a été multiplié par
et c’est le nouveau capital ainsi obtenu,
, qui porte intérêt ;
A la fin du second trimestre, le capital obtenu vaut :
.
A la fin du troisième trimestre, il vaut :
;
Et à la fin du quatrième, c’est à dire au bout d’un an :
.

Si l’on souhaite que les capitaux obtenus dans les deux situations soient égaux, le taux t doit vérifier : , soit : .

On se « débarrasse » classiquement de la puissance : .

D’où, finalement :

On obtient : 2,18 à près.

Résultat final

Placer un capital pendant un an à 9% équivaut à le placer à un taux trimestriel d’environ 2,18% (à près) pendant 4 trimestres, les intérêts étant composés chaque trimestre.