Dans un premier temps, la présence d’une fraction nous conduit à rechercher d’éventuelles valeurs « interdites » de l’inconnue.

Ensuite, il convient de se débarrasser de la fraction en se montrant rigoureux(se).

 

 

 

Recherchons, dans un premier temps, les éventuelles valeurs de x qui annule le dénominateur.

On cherche donc à résoudre l’équation : .

Posons : .

On est alors ramené à l’équation du second degré suivante : .

 

 

D’où :  et .

On résout alors :

 qui donne  

 qui donne  

 

 

Afin de se débarrasser de la fraction, nous souhaitons multiplier chaque membre de l’inéquation par .

D’après ce qui précède, cette expression peut être, suivant la valeur de x dans , strictement négative ou strictement positive. Comme nous avons affaire à une inéquation, le signe de cette expression importe !

 

 

On a alors : .

L’inéquation de départ équivaut alors à : .

Soit :  

D’où, finalement :  

 

En posant , on se ramène à une inéquation du second degré : .

 

On commence par résoudre : .

On a : .

Il vient alors :  et .

 

On a donc : .

D’où :  

 

L’inéquation  équivaut donc à : .

 

Pour tout x réel, on a :  et donc .

Le signe de  est donc celui de .

 équivaut donc à .

 

 équivaut à , soit :  ou, finalement .

 

Puisque nous nous étions placé dans l’ensemble  et que , il vient finalement :

 

Dans , on a  pour .

 

 

 

Cette fois, on a : .

L’inéquation de départ équivaut alors à : .

(l’inégalité est inversée puisque l’on a multiplié par une quantité négative)

 

On obtient finalement : .

D’après ce qui a été fait au cas précédent, cette inégalité est vérifiée pour , soit .

 

Mais nous travaillons dans l’intervalle . On ne peut donc avoir .

 

 

 

L’inéquation  est vérifiée pour tout x de .