On commence par déterminer le domaine de définition de la fonction f. L’une des limites requiert d’utiliser un résultat relatif aux croissances comparées.

 

 

 

La fonction f est le produit des fonctions  et .

 

La première est une fonction affine. Elle est définie sur .

 

La seconde est une composée :  est définie sur  et l’exponentielle également. La fonction  est donc définie sur .

 

Comme produit de deux fonctions définies sur , la fonction f est définie sur .

 

On cherche donc les limites de f en  et en .

 

 

Limite de f en  

 

On a immédiatement :

 

 

 

Par ailleurs, comme  et que , on en déduit :

 

 

 

On en déduit alors (multiplication) :

 

 

 

 

Limite de f en  

 

On a :

 

 

 

Par ailleurs, comme  et que , on en déduit :

 

 

 

Nous avons donc affaire ici à une forme indéterminée du type «  ».

 

Pour tout x réel, on a :

 

 

 

Les deux résultats classiques :  et , nous donnent :  et .

 

On en déduit :