Divers éléments de cours sont passés en revue dans cet exercice (croissance comparée, comparaison, …) pour obtenir un résultat probablement conforme à … votre intuition ?

 

 

 

1.      Pour pouvoir utiliser le théorème du cours (croissance comparée), il nous faut faire apparaître au dénominateur l’argument de l’exponentielle :

 

 

 

Comme : , il vient :  et, finalement :

 

 

 

2.      Pour tout réel x supérieur à 1, on a, la fonction racine carrée étant strictement croissante sur  : .

 

On en déduit, en multipliant par le réel positif  : , soit, x étant non nul (puisque supérieur à 1) : . On en tire alors : , soit : . Finalement, l’exponentielle prenant des valeurs strictement positives : .

 

 

 

3.      Pour tout réel x strictement positif, on a :

 

 

 

D’après la question précédente, on a : . D’après la question 1, on a : . Par comparaison, on en déduit :  (1).

 

Par ailleurs, on a vu que : . On en tire immédiatement :  puis :  (2).

On a aussi :  et . Par produit, il vient alors :  , puis :  et  (3).

Les résultats (2) et (3) que nous venons d’obtenir donnent alors (rapport) :

 

 

On en déduit finalement (produit) en tenant compte de (1) :