On considère la fonction f définie sur
l’intervalle par :
1. Montrer que f est continue en ;
2. Calculer la limite de f en (on interprètera graphiquement le résultat
obtenu) ;
3. Montrer que f est dérivable sur et donner
;
4. Montrer que la fonction f est
dérivable en 0 (on effectuera le changement de variable et on fera apparaître
) ;
5. Donner les variations de f ;
6. Tracer la courbe représentative de f dans un repère orthonormal.
Analyse
Divers éléments de cours sont passés en revue dans cet exercice (exponentielle de base a, croissance comparée, …). La question 3. est probablement la plus délicate comme souvent dans le cadre d’étude en un point.
Résolution
1. Pour tout réel x de l’intervalle ,
on a :
La fonction f est ainsi la
composée de la fonction et de la fonction exponentielle.
On a : et
d’où :
.
Or, on a : .
On en déduit alors, par composition :
.
Comme : ,
on en déduit finalement :
La fonction f est continue en 0.
2. On a cette fois : d’où :
.
Or, on a : .
On en déduit alors, par composition :
On déduit de ce résultat que la
courbe représentative de la fonction f admet une asymptote
verticale d’équation
.
3. On a vu à la question 1. que la fonction f était la composée de
la fonction et de la fonction exponentielle.
La fonction est dérivable sur l’intervalle
car la fonction tangente l’est. La fonction
tangente prend, sur cet intervalle, ses valeurs dans
.
Or, la fonction exponentielle est dérivable sur
.
On en déduit ainsi que :
La
fonction f est dérivable sur .
Pour tout réel x de
l’intervalle ,
on a :
.
On en déduit (dérivation d’une fonction composée) :
4. On doit déterminer : .
Comme le suggère l’énoncé,
effectuons le changement de variable .
Lorsque x tend vers par valeurs strictement supérieures, h
tend vers 0 par valeurs strictement positives.
On a donc : .
Pour h strictement positif
(tel que ), on a, en tenant compte de
et
:
On cherche donc ici :
On a : .
On a immédiatement : et
.
Pour calculer ,
nous pouvons effectuer le changement de variable
.
Quand h tend vers 0 par valeurs strictement positives, X tend
vers
.
On a donc :
Or, en posant :
(cf. cours sur les croissances comparées).
Finalement : et donc :
.
En définitive :
La
fonction f est donc dérivable (à droite) en et on a :
.
5. D’après la question 3., on a : .
Les trois facteurs apparaissant
dans l’expression de sont strictement positifs. On en déduit que la
dérivée de la fonction f est strictement positive sur
.
Par ailleurs, d’après la question
précédente, la dérivée de la fonction f s’annule en .
Finalement :
La
fonction f est strictement croissante sur .
6. On obtient :
Courbe
représentative de la fonction pour x dans
.