On considère la fonction f définie sur par :
1. Déterminer la fonction dérivée de la fonction f ;
2. En déduire les variations de f.
Analyse
Le calcul est assez simple (dérivée d’une fonction composée) et l’étude du signe de la fonction dérivée ne requiert que quelques connaissances relatives au logarithme népérien.
Résolution
1. La fonction est dérivable sur
comme rapport de deux fonctions définies et
dérivables sur cet intervalle. Elle prend par ailleurs ses valeurs dans
.
La fonction est dérivable sur
(exponentielle de base 3. Cf. le cours).
On en déduit que la fonction f
est dérivable sur .
Pour tout x réel
strictement positif, il vient alors, en partant de :
2. Pour tout x réel strictement positif, on a : .
On en déduit que le signe de est identique à celui de
.
En tenant compte de et du fait que la fonction logarithme népérien
est strictement croissante sur
,
il vient :
- Sur
,et la fonction f est strictement croissante ;
- ;
- Sur
,et la fonction f est strictement décroissante.
En définitive :
Sur
l’intervalle la fonction f est strictement
croissante et sur l’intervalle
elle est strictement décroissante.
En guise de complément, nous fournissons la courbe représentative de f :
Courbe
représentative de la fonction .