On considère la fonction f définie sur par :
Déterminer les limites de la fonction f en 0 (à
droite) et en .
Analyse
On peut d’emblée utiliser l’écriture exponentielle (c’est
l’approche que nous proposons). On peut également remarquer que pour tout réel x
strictement positif, on a : .
Résolution
Pour tout réel x strictement positif, on a : .
On a la limite classique : .
Il vient alors : ,
puis, par composition :
.
On a ensuite : .
D’où, par composition : .
Par différence, il vient finalement :
En ,
on peut facilement comparer les comportement des fonctions
et
.
D’où la factorisation :
On a immédiatement : et
.
On en déduit :
- Par
composition : ;
- puis, par composition :et, enfin :
Il vient alors, par produit :
En guise de complément, nous fournissons la courbe représentative de f :
Courbe
représentative de la fonction .
Résultat final
Pour
la fonction f définie sur par
,
on a :
et