L’exercice fait appel à quelques limites classiques de l’exponentielle et requiert de connaître la limite de  en 0.

 

 

 

On écrit, pour tout x réel non nul :

 

 

 

En tenant compte de  et de  il vient (composition) : .

En tenant compte ensuite de , il vient (produit) :

 

 

 

Par ailleurs, on a la limite classique (cours) : .

 

On en déduit alors (composition) :

 

 

 

On procède de façon analogue à droite de 0.

 

On a cette fois :  et donc :

 

 

 

On a la limite classique (cours) : .

 

On en déduit alors (toujours par composition) :

 

 

 

 

Le premier résultat nous indique que la fonction f peut être prolongée par continuité à gauche en 0. La courbe représentative de la fonction f admet donc en 0 à gauche un point limite qui est simplement l’origine

 

D’après le second résultat, la courbe représentative de la fonction f admet une asymptote verticale d’équation : .

 

 

Pour les limites en  et en , on effectue deux remarques :

 

• On a :
  
   ;
• Pour tout x réel non nul :
  
  .

 

On a alors : .

Le théorème des gendarmes nous permet alors d’écrire : .

 

Enfin il vient (par composition) :

 

 

 

 

 

La courbe représentative de la fonction f admet une asymptote horizontale d’équation : .

 

 

En guise de complément, nous fournissons la courbe représentative de f :

 

 

 

Courbe représentative de la fonction .