On doit d’emblée remarquer que l’argument du logarithme népérien est une fraction rationnelle en n dont le degré du numérateur est égal à celui du dénominateur.

On exploite cette remarque de deux manières :

• D’une part, on montre qu’à partir d’une certain rang, on a :
  
   ;
• D’autre part, on peut trouver un équivalent de
  
   au voisinage de
  
  .

 

 

 

On a :

 

 

 

On trouve facilement les racines du polynôme  :  et .

 

Comme  et , on a : .

D’où : .

 

Finalement : .

 

On a donc affaire à une série dont le terme général est strictement positif pour .

 

 

Effectuons la division du polynôme  par le polynôme .

 

On obtient immédiatement :

 

 

 

On a alors :

 

 

 

Au voisinage de , le rapport  est un infiniment petit équivalent à  (rapport des termes de plus haut degré).

 

On en déduit alors que  est également équivalent à  au voisinage de .

 

Comme les terme général de la série  est équivalent à  et que la série  converge, on en déduit finalement :

 

 converge