La forme du terme général suggère de travailler avec son logarithme népérien. Une discussion apparaît alors assez naturellement …

 

 

 

Les réels a et b étant strictement positifs, nous avons affaire à une série dont le terme général est strictement positif et pouvons poser, pour tout entier nature n :

 

 

 

La limite de  va dépendre des valeurs des réels a et b par rapport à la valeur 1 (présence de  et  ) mais aussi de l’égalité éventuelle de ces deux réels (cas « très » particulier où  vaut 0 pour tout entier naturel n).

 

 

1^er cas :  

 

Dans ces conditions, on a, pour tout entier naturel n,  et . La série  diverge trivialement.

 

 

2^ème cas :  

 

• Si
  
   ou
  
  , on a respectivement
  
   ou
  
  . Dans les deux cas, la suite
  
   est constante non nulle et la série
  
   diverge trivialement.

 

• Si a et b appartiennent à l’intervalle
  
  , on a :
  
   et :
  
  .

On en déduit alors :  et la série  diverge trivialement ;

 

• Si
  
  , on a
  
   et
  
  .

On en déduit .

On a :  et . On en déduit, en passant à l’exponentielle : . La série  est convergente (règle de D’Alembert, par exemple, ou : il existe  tel que, à partir de ce rang, . On a alors  et  converge car  ). D’où : la série  converge.

 

• Si
  
  , on a
  
   et
  
  .

On en déduit . D’où : . La série  diverge trivialement.

 

• 
  
  . On a alors :
  
  . Comme
  
  , on a :
  
  . Il vient alors :
  
  . D’où :
  
  . La série
  
   diverge trivialement.

 

• 
  
  . On a alors :
  
  . Comme
  
  , on a :
  
  . On a alors :
  
   et
  
  . Mais on ne peut cette fois en déduire un équivalent de
  
   car
  
   (la limite de cette différence est infinie).

Pour autant, nous allons pouvoir conclure en posant :

 

 

 

Comme, , on a : .

On en déduit alors : , d’où : .

La série  converge.

 

 

En résumé, la série  converge dans deux situations :

• 
  
   ;
• 
  
  .