Etudier la série de terme général : .
Analyse
On étudie dans un premier temps le signe de et la limite de
en
.
Cette étude fournit les éléments requis pour pouvoir conclure …
Résolution
On a immédiatement : .
Pour tout entier naturel n non nul, on a et
.
On en déduit :
et, finalement :
.
Nous avons donc affaire à une série à termes positifs.
A partir de ,
on a immédiatement :
.
Comme alors
.
Mais on a également : (pour rappel : poser
).
On en déduit : .
On en déduit alors (séries de Riemann) que la série de terme général
converge.
Résultat final
La
série converge.