Etudier la converge et calculer la somme de la série de terme général :
.
Analyse
On obtient facilement un équivalent de en
.
Il permet de justifier la convergence.
Le calcul de la somme requiert au préalable d’avoir
décomposé la fraction en éléments simples.
Résolution
On a d’abord : .
On a donc affaire à une série à termes positifs.
On a ensuite : .
Or,
converge (l’exposant de n est
strictement supérieur à 1). On en déduit finalement :
converge.
Il vient ensuite :
La somme partielle : s’écrit alors :
En utilisant le résultat classique : ,
il vient alors :
Résultat final
La
série converge et :