Etudier la converge et calculer la somme de la série de terme général :
Analyse
La forme de avec, notamment, la factorielle au
dénominateur suggère d’utiliser le critère de d’Alembert.
Le calcul de la somme ne pose pas de difficulté particulière
et consiste, pour l’essentiel, à simplifier l’expression de et à changer de variable.
Résolution
On a d’abord : .
On a donc affaire à une série à termes positifs.
On a ensuite :
Or et
.
Il vient donc :
et le critère de d’Alembert nous permet de
conclure :
La
série de terme général est convergente.
On a alors :
Résultat final
La
série converge et :
.