Dans un premier temps, il convient de s’intéresser à  (il faut que cette limite soit nulle pour qu’il y ait convergence). Dans un second temps, on peut rechercher un équivalent de  en  …

 

 

 

On a d’abord, pour tout entier naturel n non nul :

 

 

 

Pour tout couple  de réels tels que , on a :  et la série de terme général  diverge grossièrement.

 

Nous supposons donc, à partir de maintenant, que l’on a : .

 

Nous pouvons donner un développement limité de  au voisinage de  :

 

 

 

Pour tout couple  de réels tels que ,  va donc garder un signe constant à partir d’un certain rang et on a : .

La série de terme général  est donc de même nature que la série harmonique. Or la série  diverge. On en déduit que  diverge.

 

On suppose maintenant que l’on a : .

 

Comme on avait déjà , les réels a et b sont les solutions du système :

 

 

 

On obtient facilement :  et .

 

Le développement limité obtenu ci-dessus se récrit alors : .

 va donc garder un signe constant à partir d’un certain rang et on a : .

La série de terme général  est donc de même nature que la série . Or la série  est une série de Riemann convergente. On en déduit que  converge.

 

On a alors, en posant  :

 

 

 

On a immédiatement :  et donc : .

Finalement : .