On considère la série de terme général :
où a est un réel strictement positif.
1. Quelle est la nature de la série ?
2. Donner un équivalent de la somme
partielle .
Analyse
On a affaire à une série à termes positifs dont on peut facilement donner un équivalent du terme général …
Résolution
1. Pour tout entier naturel n strictement positif, on a : et, de fait :
.
On a donc affaire à une série à termes positifs.
On a par ailleurs : .
Or, la série de terme général
est divergente (série harmonique … à un
facteur multiplicatif près). On en conclut :
La
série est divergente.
2. Les séries et
sont à termes positifs, les termes généraux
sont équivalents et elles divergent. Les sommes partielles sont donc
équivalentes :
Or, on a le résultat
classique : .
On en tire :
et, finalement :
Résultat final
La
série de terme général (
) diverge et on a :