On a affaire à une série alternée dont la valeur absolue du terme général n’est pas décroissante. Dans la première question, on trouve un équivalent simple de  qui permet de conclure rapidement. Dans la deuxième question, on écrit  sous la forme d’une somme et l’étude de  se ramène à celle de deux séries.

 

 

 

1.      On a facilement  et  (car  ).

Par ailleurs, la fonction  est strictement croissante sur  et on a :

. Comme, pour tout x réel, on a : , il vient finalement :

 

 

En définitive :

 

 

 

On a également, pour tout entier naturel n non nul :

 

 

Comme on a :  et , il vient : . Soit : .

Mais la série  est divergente (série de Riemann et  ). On en déduit que la série  est également divergente.

 

 

 

2.      Comme indiqué, nous posons : .

On a alors :

 

 

 

On en tire : .

Or,  et la série de Riemann  est convergente (  ). On en déduit que la série  converge puis qu’il en va de même pour la série .

 

La série  étant absolument convergente, elle est convergente.

 

Par ailleurs, la série  est une série alternée.

On a facilement . D’après le critère spécial des séries alternées, on en déduit que la série  converge.

 

En résumé :  et les séries  et  convergent. On peut alors en conclure que :