On montre facilement que le terme général de cette série est de signe constant.

Ensuite, un équivalent du terme général permet de conclure quant à la convergence.

Enfin, on simplifie l’expression d’une somme partielle quelconque pour pouvoir en calculer la limite.

 

 

 

Notons, dans un premier temps, que le terme  est défini pour tout entier naturel n supérieur à 2. On a, pour un tel entier :  et, de fait : .

On en déduit que la série considérée est une série à termes strictement négatifs.

 

On a immédiatement l’équivalence : . Or, la série  est une série de Riemann convergente. Il en va donc de même pour la série  et, ensuite, pour la série .

 

On a alors :

 

 

 

Comme : , on a immédiatement :