On note que la série considérée est alternée.

Par ailleurs, la présence de la factorielle de n au dénominateur doit nous faire penser à la formule de Stirling. Elle nous donne en rapidement un équivalent de .

 

 

 

 

On a clairement affaire à une série alternée (premier terme :  ) de terme général :

 

 

Par ailleurs, en posant  : , on obtient, pour tout entier naturel n non nul :

 

 

Pour tout entier naturel k dans , on a : , d’où :  et, finalement : .

La suite  est donc strictement croissante.

On en déduit alors que la suite  est strictement décroissante.

 

Rappelons enfin que l’on a l’équivalence (formule de Stirling) : .

On en tire immédiatement : .

Comme :  (considérer :  ), il vient : , soit : .

On a alors : .

 

Les résultats précédents nous permettent de conclure, d’après le théorème spécial des séries alternées, que la série  converge.

 

Mais l’équivalence  nous permet également de conclure, la série  étant divergente (comme la série harmonique), que la série  est divergente.

 

En définitive, la série  est bien semi-convergente.