On montre facilement que l’on a affaire à une série de Riemann. L’utilisation du cours est alors immédiate.

Dans ce qui suit, nous adoptons néanmoins une démarche un peu plus générale en commençant par déterminer les situations de divergence grossière de la série.

 

 

 

 

On a immédiatement :

 

 

Pour , on a :  et pour , on a : . Dans les deux cas, la série de terme général  est grossièrement divergente.

 

On suppose donc, dans ce qui suit : .

 

Pour tout entier naturel n non nul, on a :

 

 

Nous avons donc affaire à une série de Riemann.

On a donc :  converge si, et seulement si, .

Or : .

Ainsi, la série  converge si, et seulement si : .