L’équation (E) n’est pas une linéaire du fait de la présence du terme . On constate d’emblée que l’on peut travailler avec l’inconnue  puisque (E) ne comporte pas de terme en « y ». Cette première remarque permet de déterminer immédiatement un sous-ensemble simple de solutions de (E) puis de déterminer les autres.

 

 

 

Premières solutions

 

En notant que l’équation (E) ne comporte pas de terme en « y », on constate que toute fonction constante est solution de (E) sur  puisque pour une telle solution on a

 

Autres solutions

 

Nous allons rechercher les solutions non constantes de (E) sur un intervalle I tel que la dérivée de toute solution définie sur I soit non nulle sur cet intervalle (bien sûr, la résolution de (E) va nous conduire à préciser cet intervalle).

 

Dans ces conditions et en posant , on a :

 

 

Cette dernière équation peut alors être facilement intégrée membre à membre et on obtient :

 

 

où k est une constante réelle quelconque.

 

Comme , on a donc sur tout intervalle I où la dérivée y’ ne s’annule pas :

 

 

Pour k fixé, l ‘égalité précédente est valable sur tout intervalle I ouvert inclus dans l’un des deux intervalles  ou . Sur un tel intervalle, on note que .

 

En intégrant une nouvelle fois membre à membre, on obtient finalement :

 

 

où C est une constante d’intégration réelle quelconque.