Une transformation simple de l’écriture de  permet d’identifier la tangente hyperbolique d’une somme. On peut également procéder directement en utilisant l’expression de . Nous proposons les deux approches ci-dessous.

 

 

 

1^ère approche

 

On a :

 

 

 

Comme la fonction tangente hyperbolique définit une bijection de  dans l’intervalle  et que  appartient à cet intervalle, on peut affirmer qu’il existe un unique réel a tel que . En d’autre terme, .

 

Dans ces conditions, il vient :

 

 

 

On en déduit finalement : .

 

Comme on a : , il vient :

 

 

 

En définitive :

 

 

 

 

2^ème approche

 

A partir de , on a :

 

 

 

On retrouve ainsi le résultat obtenu précédemment.

 

 

 

 

 

 

 

 

Pour tout réel  de , on a :