On considère A, B, C et D quatre points distincts deux à deux de l’espace.
1. En écrivant les différences et
sous forme de
produits scalaires, démontrer que l’on a :
2. Soit maintenant ABCD un tétraèdre tel
que les droites et
, d’une part, et les droites
et
, d’autre part, soient orthogonales. Montrer que les
droites
et
sont
orthogonales.
Analyse
Un exercice simple qui permet de (re ?)découvrir une caractérisation intéressante de l’orthogonalité de deux droites dans l’espace. La deuxième question est une application directe de la première.
Résolution
1. Comme suggéré, nous nous intéressons aux différences et
.
On a :
Et :
On en tire alors :
Les vecteurs et
étant des vecteurs directeurs des droites
et
respectivement, on a, d’après ce qui précède :
et
orthogonales
Le résultat est ainsi établi.
et
orthogonales
2. D’après la question précédente, on a :
et
orthogonales
et
orthogonales
On tire des deux égalités : ,
que nous récrivons :
La question précédente nous
permet alors de conclure que les droites et
sont orthogonales.
Si,
dans un tétraèdre ABCD, les droites et
,
d’une part,
et
,
d’autre part, sont orthogonales, alors les droites
et
sont également orthogonales.
Le résultat obtenu peut être énoncé de façon plus générale en remarquant qu’un tétraèdre comporte trois couples d’arêtes opposées :
Si, dans un tétraèdre, il y a deux couples d’arêtes opposées orthogonales, alors il en va de même pour le troisième couple d’arêtes opposées.