On considère un cube ABCDEFGH d’arête a.

On note I l’isobarycentre du triangle CFH.

 

 

1.    Montrer que le triangle CFH est équilatéral.

2.    Prouver que les points A, G et I appartiennent au plan médiateur de  et au plan médiateur de .

3.    En déduire que la droite  est orthogonale au plan  et qu’elle passe par I.

 

(D’après BAC E  1989)

 

 

 

 

Analyse

 

Un exercice sur l’orthogonalité dans l’espace qui met l’accent sur la notion de plan médiateur. Seule la troisième question requiert un peu de précision.

 

 

 

Résolution

 

1.      Les côtés du triangle CFH sont des diagonales de faces du cube. Toutes les faces du cube sont des carrés de côté a et de diagonale . Il vient donc immédiatement :

 

 

Le triangle CFH est équilatéral.

 

 

2.      Rappelons que le plan médiateur d’un segment dans l’espace est l’ensemble des points équidistants des extrémités de ce segment.

 

 est une diagonale du carré ADCB. On a donc : .

 est une diagonale du carré ADHE. On a donc : .

Comme , le point A appartient au plan médiateur du segment .

 

 et  sont deux côtés du carré DCGH. On a donc .

Comme , le point G appartient au plan médiateur du segment .

 

Enfin, le point I étant l’isobarycentre du triangle CFH qui est équilatéral, il en est le point d’intersection des médiatrices. En particulier, I appartient à la médiatrice du segment  dans le plan . On a donc  et le point I appartient au plan médiateur du segment .

 

En raisonnant de façon similaire avec le segment , on montre que les points A, G et I appartiennent au plan médiateur de ce segment.

 

Les points A, G et I appartiennent aux plans médiateurs des segments  et .

 

 

3.      Notons  et  les plans médiateurs des segments  et  respectivement.

 

Ils admettent pour vecteurs normaux  et  respectivement. Ces vecteurs n’étant pas colinéaires, les deux plans  et  se coupent suivant une droite. Comme les points A, G et I appartiennent à l’intersection de  et  (cf. la question précédente), on en déduit immédiatement que la droite  passe par le point I.

 

 

Le plan  passe par le milieu du segment  et est perpendiculaire à la droite . Toute droite de  est donc orthogonale à la droite .

A et G étant deux points du plan , on déduit de ce qui précède que la droite  est orthogonale à la droite .

 

En raisonnant de façon similaire avec le plan  et le segment , on établit que la droite  est orthogonale à la droite .

 

La droite  étant orthogonale aux deux droites sécantes  et , on en déduit immédiatement qu’elle est perpendiculaire au plan .

 

En définitive :

 

La droite  est perpendiculaire au plan  et passe par le point I de ce plan.