Soit A, B et C trois points de l’espace rapporté à un repère orthonormal .
On donne , et .
1. Pourquoi A, B et C définissent-ils un plan ?
2. Déterminer une équation du plan ;
3. Représenter .
Un exercice typique sur le thème du plan dans l’espace, qui fait appel à des notions vues en classe de première.
Il s’agit ici de démontrer que les trois points A, B et C ne sont pas alignés.
Pour cela, déterminons les coordonnées des vecteurs et .
A partir des coordonnées fournies, on obtient : et .
Les coordonnées de ces deux vecteurs n’étant pas proportionnelles, ils ne sont pas colinéaires et on en déduit finalement que les points A, B et C ne sont pas alignés.
A, B et C définissent un plan dans l’espace.
On cherche une équation de la forme : .
Les coordonnées des points A, B et C devant vérifier cette équation, on obtient le système suivant :
On le résout en exprimant classiquement a, b et c en fonction de d.
Il vient :
L’équation cherchée s’écrit finalement :
Les coefficients étant non tous nuls, on peut choisir pour valeur de d : 7. Il vient alors :
On vérifie rapidement que les coordonnées des points A, B et C (qui sont faciles à manipuler) vérifient cette équation.
Une équation du plan est : .
Pour représenter le plan , on peut positionner les points A, B et C.
On peut également, à partir de l’équation obtenue précédemment déterminer les coordonnées de points d’intersection E, F et G du plan avec les axes du repère.
On obtient facilement :
, et
Sur la figure ci-dessous, nous avons fait apparaître les triangles ABC et EFG, tous deux inclus dans le plan .