On considère le système :
(S)
a) Pourquoi (S) définit-il une droite D de l’espace ?
b) Déterminer un vecteur directeur de D ;
c) Déterminer le point d’intersection de D et du plan P d’équation .
Un exercice typique sur le thème du plan dans l’espace, qui fait appel à des notions vues en classe de première.
Chacune des équations du système (S) définit un plan dans l’espace.
Les coefficients respectifs de x, y et z dans ces équations ne sont pas proportionnels (par exemple ). On en déduit ainsi que les deux plans d’équations et sont sécants : leur intersection est une droite.
Le système (S) définit une droite de l’espace.
Déterminons les coordonnées de deux points de la droite D.
Pour ce faire, nous allons exprimer, grâce à (S), deux des coordonnées en fonction de la troisième.
Tout point de la droite D admet donc des coordonnées de la forme .
Pour , on obtient le point et pour , on obtient le point .
Le vecteur est un vecteur directeur de la droite D.
Le vecteur est un vecteur directeur de la droite D.
Notons I le point cherché. D’après la question précédente, on peut poser : .
Dire que le point I appartient au plan P équivaut à écrire que ses coordonnées vérifient l’équation .
On a donc : . D’où : .
Il vient alors : et .
Finalement :
Le point d’intersection de la droite D et du plan P est le point .
Remarque : on aurait également pu trouver les coordonnées de I en résolvant le système :