Pour cette démonstration par récurrence, on a tout intérêt à noter que la suite  est définie par récurrence sous la forme : . L’étude de la fonction f, fonction polynôme du second degré, ne pose pas de difficulté particulière …

 

 

 

Soit  la proposition «  ».

 

Puisque  et que a appartient à l’intervalle , on en déduit que la proposition  est vraie.

 

Supposons maintenant que  soit vraie et intéressons-nous à . Il nous faut démontrer que  appartient à l’intervalle .

 

On a, d’après la définition de la suite  : , où f est la fonction définie par :

 

Etudions cette fonction sur l’intervalle .

Elle y est dérivable en tant que fonction polynôme et on a :

 

Pour tout x réel vérifiant , on a : . On en déduit que  est strictement positive sur  et, de fait, que la fonction f est strictement croissante sur cet intervalle et donc sur .

On en déduit :

 

Or,  et .

 

Finalement :

 

En particulier, d’après l’hypothèse de récurrence, on a : .

Donc : .

C’est à dire : .

La proposition  est donc vraie.

 

Finalement, la proposition est vraie pour tout entier naturel n.