Une démonstration par récurrence assez « mécanique » où il convient de manipuler les puissances avec soin.

 

 

 

Soit  la proposition «  est un multiple de 7 ».

 

Pour , on a : .

On a bien obtenu un multiple de 7. La proposition  est donc vraie au rang 0.

 

Supposons désormais que  soit vraie. On suppose donc que  est un multiple de 7.

On s’intéresse à .

 

On a :

 

 

Puisque  est un multiple de 7, on peut écrire : , k étant un entier naturel.

 

Il vient alors :

 

 

Cette dernière égalité établit que  est bien un multiple de 7.

 

La propriété est ainsi vérifiée au rang .

 

On en déduit ainsi qu’elle est vraie pour tout entier naturel n.

 

 

 

 est un multiple de 7.