Une démonstration par récurrence sur les factorielles, qui ne sont pas au programme de la terminale ES mais dont la définition, somme toute assez simple, est suffisante pour traiter ce genre de problème.

 

 

 

Soit  la proposition «  ».

 

Pour , on a :  et . On a bien : .

La proposition  est donc vraie au rang 1.

 

Supposons désormais que  soit vraie pour  entier naturel non nul. On suppose donc que l’on a .

On s’intéresse à .

 

On a : .

 

Or, d’après l’hypothèse de récurrence, on, a : .

On en déduit : .

Mais  entraîne . On en tire : .

C’est à dire :  ou .

 

La propriété est ainsi vérifiée au rang .

 

On en déduit ainsi qu’elle est vraie pour tout entier naturel n non nul.