On a le résultat classique : , que l’on peut rapidement retrouver en déterminant . Nous sommes donc confrontés à une forme indéterminée du type «  ».

On la lève en transformant l’écriture de la puissance et en faisant apparaître des expressions dont les limites en  sont connues ou en ayant recours à la notion d’équivalents de fonctions.

 

 

 

Préambule

 

On a : .

 

A partir de cette expression, diverses approches de calcul de la limite demandée sont possibles.

 

 

1^ère approche : utiliser des équivalents de fonctions

 

On sait que l’on a, au voisinage de 0 : . Comme, au voisinage de ,  est un infiniment petit, on peut écrire : .

On en déduit alors : . C’est à dire : .

 

Soit : .

 

 

2^ème approche : faire apparaître une limite connue

 

Si l’on ne dispose pas de la notion d’équivalent, on peut traiter le problème en introduisant la suite réelle  de terme général défini par : .

Comme on a : , il vient : .

 

A partir de , on obtient facilement l’expression de n en fonction de  :

 

 

On a alors : .

 

Or, on dispose du résultat classique : .

 

Comme , il vient : .

 

D’où, finalement :

 

On a retrouvé le résultat obtenu précédemment.