L’essentiel du travail se situe au niveau de la première question.

On utilise la définition de la convergence d’une suite réelle en cherchant à majorer  où  est la suite définie par : .

La deuxième limite découle immédiatement du premier résultat.

 

 

 

Question 1.

 

On pose donc :  et on considère : .

 

Soit alors  un réel quelconque strictement positif.

 

On a d’abord :

 

 

Comme la suite  est convergente de limite l, il existe un entier naturel N tel que :

 

 

Pour , on peut alors « couper » la somme  en deux comme suit :

 

 

Chacun des deux termes peut être facilement majoré :

 

• Soit .

On a : .

• Par ailleurs :  et .

 

Il vient donc :

 

 

D’où :

 

 

Ces inégalités sont valables pour tout entier naturel n strictement supérieur à N.

 

A et N étant fixés (dès lors que  l’est), le terme  peut-être rendu aussi petit que souhaité puisque l’on a : . En particulier :

 

 

En posant alors , il vient :

 

 

En d’autres termes :

 

 

C’est à dire :

 

 

 

Question 2.

 

On va naturellement ici utiliser le résultat de la question précédente.

 

Pour cela, on récrit le terme général de la suite  comme suit :

 

 

On a :  et donc : .

 

Comme, d’après la première question, , on peut écrire :

 

 

Finalement :