Un grand classique, application directe du cours.

 

 

 

Soit  la propriété «  ».

 

Pour , on a :  et .

On a bien l’égalité,  est donc vraie.

 

Supposons maintenant que  soit vraie, c’est à dire que l’on ait l’égalité :

Etudions .

 

On a :

 

Pour obtenir une éventuelle factorisation de , nous résolvons dans  l’équation .

 

On a : .

 

L’équation  admet donc les deux solutions :

 

 et

 

On en déduit que le trinôme  peut se factoriser comme suit :

 

Finalement, on a :

et :

 

On remarque :

 

 est donc vraie (la propriété P est vraie à l’ordre  ).

 

Finalement, pour tout entier naturel n non nul, on a :