Soit n un entier naturel non nul.
1. Calculer , , et ;
2. D’après la question précédente conjecturer une expression simple pour ;
3. Démontrer le résultat de la question précédente par récurrence.
Un exercice qui fait appel à un résultat classique sur les sommes d’entiers naturels et requiert d’être attentif (1ère question).
On a facilement :
On remarque d’abord que les quatre sommes calculées sont des carrés : , , et .
Intéressons-nous alors aux nombres 1, 3, 6 et 10.
On remarque que l’on a : , , et .
On peut conjecturer :
Pour tout entier naturel n non nul :
Or, pour tout entier naturel non nul, on a le résultat classique : .
On peut finalement conjecturer :
Pour tout entier naturel n non nul :
Soit la propriété « ».
D’après la question 1, la propriété P est vraie aux rangs 1, 2, 3 et 4.
Supposons maintenant que soit vraie, c’est à dire que l’on ait l’égalité :
Etudions .
On a :
On remarque :
est donc vraie (la propriété P est vraie à l’ordre ).
Finalement, pour tout entier naturel n non nul, on a :
|
|
|
|