Soit n un entier naturel non nul.
On considère l’équation où a est un réel strictement positif :
1. Démontrer que admet une solution unique sur ;
2. Montrer que la suite est strictement décroissante. Quelle est la nature de la suite ?
3. En étudiant déterminer .
Les deux premières questions reviennent à étudier les zéros sur de fonctions polynômes. La suite de ces zéros converge vers une valeur que l’on calcule à la troisième question.
Pour , on définit la fonction de dans comme suit :
En tant que fonction polynôme, est dérivable sur et admet comme dérivée :
On a : . Donc : .
On en déduit que la fonction est strictement croissante sur .
Par ailleurs, est continue sur en tant que fonction polynôme.
Enfin, on a : et .
On déduit de ce qui précède que est bijective de dans .
D’après le théorème des valeurs intermédiaires, on en déduit que pour tout n entier naturel non nul, la fonction s’annule en une seule valeur de .
Pour tout n entier naturel non nul, la fonction s’annule en une seule valeur de .
Pour tout n entier naturel non nul, on a :
Puisque pour tout n entier naturel non nul, est strictement positif, on en déduit qu’il en va de même pour . Donc : .
Comme , on a donc : .
Mais la fonction est strictement croissante sur et on en déduit finalement :
Finalement :
La suite est donc strictement décroissante.
La suite est une suite de termes positifs, elle est donc minorée par 0. Par ailleurs, nous venons de démontrer qu’elle était strictement décroissante. On en déduit qu’elle converge.
La suite est convergente.
On a : .
D’où, en multipliant par qui est non nul : .
Soit :
Finalement :
(E)
Par ailleurs, pour tout entier naturel n non nul, on a : .
On a donc, pour toute valeur du réel a strictement positif : pour .
On a alors : et donc : .
Finalement :
Il vient alors : .
Or, d’après l’égalité (E) obtenue précédemment, on a : .
On en tire, étant non nul : .