On commence par se ramener à une forme d’équation classique : il convient alors de déterminer la solution générale de l’équation sans second membre et une suite particulière de l’équation complète.

 

 

 

On a immédiatement :

 

 

 

Commençons par déterminer les solutions de l’équation :

 

 

 

On veut : .

Il s’agit donc des suites constantes : .

 

On cherche ensuite une solution  particulière de l’équation : .

On peut d’abord rechercher une solution particulière de l’équation : , puis, une solution particulière de l’équation .

 

Une solution particulière  de l’équation  est une suite arithmétique de raison . Avec un premier terme nul, on obtient : .

 

Au regard de la forme du second membre (suite géométrique) de l’équation  et de ses coefficients (1 et  sont tels que  ), on cherche une suite géométrique de même raison comme solution particulière. Soit : .

 

La suite  est solution de l’équation  si, et seulement si, on a pour tout entier naturel n non nul : .

D’où, en multipliant par  : . Soit : .

Finalement : .

 

Une solution particulière de l’équation proposée est donc la suite de terme général :

 

 

Conclusion :

L’équation  admet pour solution générale tout suite  de la forme :

 

 

On veut .

Or, pour , on a : .

On en tire : . D’où : .

 

 

La suite géométrique  ayant une raison positive strictement inférieure à 1, sa limite vaut 0 : .

 

Par ailleurs, on a immédiatement : .

 

Finalement :