La suite  est telle que : . De surcroît, on a : . Les trois méthodes du cours sont utilisables.

 

 

 

1^ère approche

 

Pour tout entier naturel n, on a :

 

 

 

Le numérateur de cette fraction est un réel strictement positif. Son dénominateur est strictement positif comme somme de deux racines carrées strictement positives.

On en déduit que la fraction est strictement positive :

 

 

 

La suite  est donc strictement croissante.

 

2^ème approche

 

On a remarqué que l’on avait :  avec f définie pour tout réel x supérieur ou égal à  par : .

 

Etudions les variations de la fonction f sur .

La fonction f est la composée de la fonction affine  qui est strictement croissante sur  (et vérifie :  ) et de la fonction racine carrée qui est strictement croissante sur .

On en déduit que la fonction est strictement croissante sur .

 

La suite  est strictement croissante.

 

 

3^ème approche

 

On a remarqué que l’on avait : .

On s’intéresse alors au rapport : .

On a immédiatement, pour tout entier naturel n :

 

 

Pour tout entier naturel n, on a également :

 

 

Pour tout n entier naturel, on a : . D’où :  et, la fonction racine carrée étant strictement croissante sur  : .

 

Finalement, pour tout entier naturel n, on a : .

 

Cette troisième approche nous permet également de conclure que la suite  est strictement croissante.