Montrer que la suite définie par :
est bornée.
Analyse
La suite est telle que :
.
On est naturellement conduit à étudier la fonction f sur
.
Résolution
Etudions sur la fonction f définie par :
La fonction f est dérivable en tant que fonction rationnelle et on a, pour tout réel positif :
Pour ,
on a donc :
.
On en déduit que la fonction f est strictement croissante sur
.
Il vient alors : .
Or,
.
On a donc : .
On en déduit immédiatement : .
La suite
est donc minorée par 0.
On a par ailleurs :
Pour tout x réel positif, il vient alors :
Cette différence est strictement positive (rapport de deux nombres strictement positifs).
On a donc : et on en déduit immédiatement que la suite
est majorée.
En tant que suite minorée et majorée, la suite est bornée.
Résultat final
La
suite est minorée par 0 et majorée par
.
En
tant que suite minorée et majorée, la suite est bornée.