Montrer que la suite définie par :
est convergente et calculer sa limite.
Analyse
Les exposants intervenant dans l’expression de sont « faussement » complexes. Quelques
manipulations élémentaires permettent de mettre en évidence la somme de deux
suites géométriques …
Résolution
Pour tout entier naturel n, on a :
La suite apparaît ainsi comme somme de deux suites
géométriques :
- La
suite définie par :dont la raison est égale à;
- La
suite définie par :dont la raison est égale à 0,4225.
Ce des raisons sont positives strictement inférieures à 1. On
en déduit que les suites et
sont convergentes de limite nulle :
Comme, par ailleurs, on a : ,
il vient finalement :
Résultat final
La
suite est convergente et
.