On considère la suite définie par :
1. Montrer que la suite est minorée par
;
2. Etudier les variations de ;
3. Montrer que est bornée ;
4. Déterminer .
Analyse
L’exercice fait appel aux principales notions du cours
relatives aux suites de la forme .
Ici, la fonction f est rationnelle.
Résolution
Question 1.
On étudie la différence .
Pour tout entier naturel n, on a :
Pour tout entier naturel n, on a : et donc
.
On en déduit que la différence est strictement positive.
est donc un minorant de la suite
Question 2.
Pour tout entier naturel n, on a : où f est la fonction rationnelle
définie sur
par :
Etudions les variations de f sur .
En tant que fonction rationnelle, f est dérivable sur cet intervalle et on a :
Pour ,
on a donc :
.
La fonction f est donc strictement décroissante sur
.
Finalement :
La
suite est strictement décroissante.
Question 3.
On a vu, à la première question, que la suite était minorée. Pour montrer qu’elle est
bornée, il convient donc de montrer qu’elle est majorée.
A la question précédente, on a montré que la fonction f
était strictement décroissante sur .
On a donc :
Or, .
On a donc :
.
En particulier : pour tout entier naturel n :
,
c’est à dire :
.
La suite est donc majorée par
.
La
suite est minorée et majorée, elle est bornée.
Question 4.
En utilisant le théorème sur les termes de plus haut degré, il vient :
On en déduit :