On considère la suite définie par :
1. Montrer que la suite est géométrique ;
2. Etudier les variations de ;
3. Montrer que la suite est bornée.
Analyse
On doit se garder de manipulations hasardeuses sur les puissances. De la valeur de la raison découlent en fait la plupart des résultats …
Résolution
Question 1.
Notons d’abord que pour tout entier naturel n, on a :
et
(puissances de nombres strictement positifs).
On a alors, pour tout entier naturel n :
Le rapport étant constant pour toute valeur de l’entier
naturel n, on en déduit :
La
suite est géométrique (sa raison valant
).
Question 2.
La suite est à terme positifs et, pour toute valeur de
l’entier naturel n, le rapport
est strictement inférieur à 1.
On en déduit (voir théorème du cours) :
La
suite est strictement décroissante.
Question 3.
On a : pour tout entier naturel n, .
On en déduit immédiatement que la suite
est minorée par 0.
Par ailleurs, on a vu à la question précédente que la suite était strictement décroissante. On a donc,
pour tout entier naturel n :
.
Or :
.
Donc : .
La suite
est donc majorée par 9.
La suite étant minorée et majorée, elle est bornée.
La
suite est bornée.